$|5-\frac{2}{3x}| <1$অসমতাটির সমাধান সেট -

ব্যাখ্যাঃ

প্রদত্ত অসমতাটি হলো:

\[ \left|5 - \frac{2}{3x}\right| < 1 \]

পরম মান (absolute value) এর সূত্র অনুযায়ী, যদি \(|u| < a\) হয়, তাহলে \(-a < u < a\) হয়।

সুতরাং, প্রদত্ত অসমতাটিকে লেখা যায়:

\[ -1 < 5 - \frac{2}{3x} < 1 \]

প্রথমে, এই অসমতার প্রতিটি অংশ থেকে 5 বিয়োগ করি:

\[ -1 - 5 < -\frac{2}{3x} < 1 - 5 \] \[ -6 < -\frac{2}{3x} < -4 \]

এখন, প্রতিটি অংশকে -1 দ্বারা গুণ করি। অসমতার ক্ষেত্রে, ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়:

\[ -6 \times (-1) > -\frac{2}{3x} \times (-1) > -4 \times (-1) \] \[ 6 > \frac{2}{3x} > 4 \]

এই যৌগিক অসমতাটিকে দুইটি পৃথক অসমতায় ভাগ করা যায়:

১. \(4 < \frac{2}{3x}\)

২. \(\frac{2}{3x} < 6\)

অসমতা ১ এর সমাধান: \(4 < \frac{2}{3x}\)

\[ 4 < \frac{2}{3x} \] \[ \frac{2}{3x} - 4 > 0 \] \[ \frac{2 - 4(3x)}{3x} > 0 \] \[ \frac{2 - 12x}{3x} > 0 \]

এই অসমতাটি সমাধানের জন্য, আমরা এর লব (numerator) এবং হর (denominator) এর সমালোচনামূলক বিন্দু (critical points) গুলো বের করব।

লব \(2 - 12x = 0 \implies 12x = 2 \implies x = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\)

হর \(3x = 0 \implies x = 0\)

এই সমালোচনামূলক বিন্দুগুলো সংখ্যা রেখাকে তিনটি অংশে বিভক্ত করে: \((-\infty, 0)\), \((0, \frac{1}{6})\), এবং \((\frac{1}{6}, \infty)\)। প্রতিটি অংশে \(\frac{2 - 12x}{3x}\) এর চিহ্ন পরীক্ষা করি:

    
• যদি \(x < 0\) হয় (যেমন \(x=-1\)), তাহলে \( \frac{2 - 12(-1)}{3(-1)} = \frac{14}{-3} < 0 \)। এটি \(> 0\) শর্ত পূরণ করে না।
    
• যদি \(0 < x < \frac{1}{6}\) হয় (যেমন \(x=0.1\)), তাহলে \( \frac{2 - 12(0.1)}{3(0.1)} = \frac{2 - 1.2}{0.3} = \frac{0.8}{0.3} > 0 \)। এটি \(> 0\) শর্ত পূরণ করে।
    
• যদি \(x > \frac{1}{6}\) হয় (যেমন \(x=1\)), তাহলে \( \frac{2 - 12(1)}{3(1)} = \frac{-10}{3} < 0 \)। এটি \(> 0\) শর্ত পূরণ করে না।

সুতরাং, অসমতা ১ এর সমাধান সেট হলো \(0 < x < \frac{1}{6}\)।

অসমতা ২ এর সমাধান: \(\frac{2}{3x} < 6\)

\[ \frac{2}{3x} < 6 \] \[ \frac{2}{3x} - 6 < 0 \] \[ \frac{2 - 6(3x)}{3x} < 0 \] \[ \frac{2 - 18x}{3x} < 0 \]

এই অসমতাটি সমাধানের জন্য, এর লব এবং হর এর সমালোচনামূলক বিন্দুগুলো বের করব।

লব \(2 - 18x = 0 \implies 18x = 2 \implies x = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}\)

হর \(3x = 0 \implies x = 0\)

এই সমালোচনামূলক বিন্দুগুলো সংখ্যা রেখাকে তিনটি অংশে বিভক্ত করে: \((-\infty, 0)\), \((0, \frac{1}{9})\), এবং \((\frac{1}{9}, \infty)\)। প্রতিটি অংশে \(\frac{2 - 18x}{3x}\) এর চিহ্ন পরীক্ষা করি:

    
• যদি \(x < 0\) হয় (যেমন \(x=-1\)), তাহলে \( \frac{2 - 18(-1)}{3(-1)} = \frac{20}{-3} < 0 \)। এটি \(< 0\) শর্ত পূরণ করে।
    
• যদি \(0 < x < \frac{1}{9}\) হয় (যেমন \(x=0.1\)), তাহলে \( \frac{2 - 18(0.1)}{3(0.1)} = \frac{2 - 1.8}{0.3} = \frac{0.2}{0.3} > 0 \)। এটি \(< 0\) শর্ত পূরণ করে না।
    
• যদি \(x > \frac{1}{9}\) হয় (যেমন \(x=1\)), তাহলে \( \frac{2 - 18(1)}{3(1)} = \frac{-16}{3} < 0 \)। এটি \(< 0\) শর্ত পূরণ করে।

সুতরাং, অসমতা ২ এর সমাধান সেট হলো \(x < 0\) অথবা \(x > \frac{1}{9}\)।

যৌগিক অসমতার সমাধান:

এখন, আমরা অসমতা ১ এবং অসমতা ২ এর সমাধানের ছেদ (intersection) নেব।

অসমতা ১ এর সমাধান: \(0 < x < \frac{1}{6}\)

অসমতা ২ এর সমাধান: \(x < 0\) অথবা \(x > \frac{1}{9}\)

সমাধানের ছেদ হলো সেই x এর মানগুলো যা উভয় অসমতাকে সিদ্ধ করে।

প্রথম অসমতা অনুযায়ী \(x\) অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে (\(x > 0\))। তাই দ্বিতীয় অসমতার \(x < 0\) অংশটি বাতিল হয়ে যায়।

সুতরাং, আমাদের \(0 < x < \frac{1}{6}\) এবং \(x > \frac{1}{9}\) এর ছেদ খুঁজতে হবে।

যেহেতু \(\frac{1}{9} \approx 0.111\) এবং \(\frac{1}{6} \approx 0.167\), আমরা দেখতে পাচ্ছি \(\frac{1}{9} < \frac{1}{6}\)।

অতএব, \(x\) এর যে মানগুলো \(\frac{1}{9}\) এর চেয়ে বড় এবং \(\frac{1}{6}\) এর চেয়ে ছোট, সেগুলো উভয় শর্ত পূরণ করে।

সুতরাং, সমাধান সেট হলো \(\frac{1}{9} < x < \frac{1}{6}\)।